高一數(shù)學下冊第三單元知識點-直線與圓的位置關系輔導

師：上述圖形中直線和圓的相切你是如何得到的？
生1：我是看出來的。
師：要是這樣呢?你也能看得出來嗎?(畫得似乎相切——很難看出來是相切還是相交);(保持圓和直線的相對位置不變的情況下，拖動，再觀察)

生2：有的情形是觀察不清楚公共點個數(shù)的，那就圓心到直線的距離與半徑比較。
師：如何去比較呢?象圖中圓心到直線的距離怎么得到?半徑又是如何得到?
生2：用來量吧，不過好象也不行的，那也只是近似的，象圖中問題還是難以解決的。
師：觀察和量都不是精確的，怎么樣才是精確的呢?
生2：用算出來的量化數(shù)字來判斷。
師：對，解析幾何就是用代數(shù)方法研究幾何問題的一門學科，直線、圓都有方程，那么我們就可以通過研究兩個方程的相關量來得到直線與圓的位置關系(寫出本課課題)
【思考】通過問題解決引導學生回憶已學判斷直線與圓的位置關系的方法，并通過表格使之直觀形象.然后利用電腦的分辨率造成誤解，讓學生感受到能否量化，需要根據(jù)數(shù)量來判斷，為后續(xù)引出用坐標法解決問題做鋪墊，也自然提出了本課課題。

二、典型問題中分別探索坐標法解題過程

問題：一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報：臺風中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑長為50km的圓形區(qū)域.已知港口位于臺風中心正北70km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風的影響? 讓學生之間進行討論、交流。

師：你是怎么判斷輪船受不受影響?
生(齊聲)：臺風所在的圓與輪船航線所在直線是否相交.
師：對，這個問題其實可以歸結為直線與圓的位置關系.
生3：設O為臺風中心，A為輪船開始位置，B為港口位置，在OAB中，O到AB的距離=


，因此受影響.(平幾方法)
生4：我是用代數(shù)方法的，先是建立坐標系。
師：那如何建立坐標系?


生4：如圖，以臺風中心為原點，以東西方向為軸，建立直角坐標系，其中，取10km為單位長度.
師：具體怎么解決該問題?
生4：這樣就有了直線和圓的方程、，再解方程組，分別有兩解、一解和無解，對應于相交、相切和相離。(根據(jù)方程組的解)
師：還有什么方法?
生5：建立坐標系后求點到直線的距離，再與半徑比較大小。臺風影響的圓形區(qū)域所對應的圓的方程為，圓心O(0，0)，半徑5，輪船航線所在的直線的方程為，


，直線與圓相交，也即得到是受到臺風影響的。
師：問題是解決了，第一種方法是平面幾何方法，第二、三種方法是用直線和圓的方程來解決，這就是坐標法，你能歸納一下坐標法解決問題的過程嗎?

生5：先合適地建立坐標系，將幾何元素和特征轉化為代數(shù)表示(如點的坐標、直線和圓的方程等)，然后進行代數(shù)運算得到結果，最后將結果轉化回到幾何結論。

【思考】讓學生感受臺風這個實際問題中所蘊含的直線與圓的位置關系，思考解決問題的方案.然后重點通過追問整理出判斷直線與圓的位置關系的解決過程即步驟，對相關知識進行梳理，使學生有坐標法的“操作規(guī)范”并能明確，同時也滲透了算法思想.

三、一般問題解決中綜合運用坐標法

例1、已知：直線與圓，判斷直線與圓的位置關系;若相交，求出交點坐標。

師：你是運用什么方法解決此問題的呢?
生6：(解法1)我是通過解方程組研究公共點的個數(shù)的。
師：為什么方程組有兩個實數(shù)解就表明它們有兩個交點?(代數(shù)到幾何)
生6：直線和圓由點來構成，每個點的坐標滿足條件，而方程組的解既滿足直線方程又滿足圓方程。
生7：(解法2)借助初中已經有的幾何方法，是幾何方法的代數(shù)體現(xiàn)。我是先求直線到圓心的距離，再比較距離與半徑的關系——(通過距離公式)數(shù)量關系(不等式與等式)。
師：為何你用圓心到直線的距離并與半徑比較后還要解方程組?
生7：因為題中是要求交點的。
師：對，這就是數(shù)到形時難入微。

例2：已知過點的直線被圓截的弦長為，求直線的方程。

師：你又是以怎么樣的思路來解決該題的?
生8：解方程組，然后用韋達定理來解決。
生9：將圓化為標準方程，通過求出弦心距來解決。
師：你會喜歡哪種方法?
生10：前面一種
師：為什么?
生10：相對來說前面那種思路清晰。
師：那一定能說后面那種方法思路不清晰嗎?如果我把曲線方程成?
生(齊聲)：那后面那種方法不能用了，因為不是圓了。
師：對，前面那種方法是通法，而相對直線與圓來說，后面這種方法是先借助圓的幾何對稱性將直線與圓的位置關系轉化為圓心到直線的距離，使后面的代數(shù)運算簡化。
【思考】通過對一般直線與圓位置關系、交點和弦長問題解決過程的分析，突出了坐標法的運用。在運用坐標法解題時通過追問既有兩種方法的分析又有兩種方法的比較，更明確了坐標法解題的一般適用性，又有解決特殊幾何問題時利用幾何特征的簡化解題。另外涉及到圓的弦長問題時，常利用垂徑定理和半弦長、弦心距及半徑構成的直角三角形進行計算進行簡化運算;涉及到弦長問題時，也可利用設而不求、韋達定理來求解，滲透弦長公式，為 以后研究圓錐曲線的弦長問題打下基礎。
四、易錯問題辯析中明確坐標法運用注意
教師將上述例2作如下的變式并讓學生練習：
已知過點的直線被圓截的弦長為8，求直線的方程。 實物投影儀展示學生的練習：圓方程可化為，令所求直線方程為 ，即。 由于弦長為，所以圓心到直線的距離為，從而


，解得


，所求直線為。
師：畫個圖，你估計一下這樣的答案正確嗎?
生11：好象應該有兩條的，但上面的解題過程好象沒問題呀。
師：那這一條是怎么少掉的?少掉的那條從圖中看得出是哪條?又是怎么漏掉的?(留一定時間讓學生同桌討論)
生12：少掉的那條就是直線，它是垂直于x軸的。在剛才用代數(shù)方法設直線方程時設了直線的斜率k,隱含著去掉了斜率不存在即垂直于x軸的直線的。
師：對，這兒的問題搞清楚了，它可以給我們什么啟示?
生12：運用坐標法解題時，幾何問題轉化為代數(shù)問題時要求一致。
師：也就是要求轉化過程的等價，這也包括在后面代數(shù)運算得到結果后返回到幾何問題的結論中。

【思考】坐標法解題中包含著幾何問題到代數(shù)問題、代數(shù)結果到幾何結論的轉化，其中都需要等價轉化的要求，坐標法解題時容易出現(xiàn)轉化的不等價。上述問題 教學中先暴露問題然后組織學生對易錯問題開展辯析，較好地引導學生理解了出現(xiàn)錯誤的原因并從等價轉化思想的層面明確了要求。

坐標法是解析幾何的核心，它貫穿于整個解析幾何的學習，我們應該在各相關內容的教學中滲透坐標法，使學生能深刻地理解并熟練地運用。