高二數(shù)學(xué)知識點(diǎn)：有關(guān)平面向量的公式

定比分點(diǎn)公式(向量P1P=λ•向量PP2)

設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個實(shí)數(shù) λ，使 向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比。

若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分點(diǎn)向量公式)

x=(x1+λx2)/(1+λ),

y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式)

我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點(diǎn)公式

三點(diǎn)共線定理

若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點(diǎn)共線

三角形重心判斷式

在△ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心

若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a=λb。

a//b的重要條件是 xy'-x'y=0。

零向量0平行于任何向量。

a⊥b的充要條件是 a•b=0。

a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量.

設(shè)a=(x，y)，b=(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的運(yùn)算律：

交換律：a+b=b+a;

結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0

AB-AC=CB. 即“共同起點(diǎn)，指向被減”

a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').

3、數(shù)乘向量

實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a同方向;

當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a反方向;

當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0，方向任意。

當(dāng)a=0時(shí)，對于任意實(shí)數(shù)λ，都有λa=0。

注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

當(dāng)∣λ∣>1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍;

當(dāng)∣λ∣<1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍。

數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律

結(jié)合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

向量對于數(shù)的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.

數(shù)對于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.

數(shù)乘向量的消去律：① 如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的數(shù)量積

定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π

定義：兩個向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點(diǎn)積)是一個數(shù)量，記作a•b。若a、b不共線，則a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉;若a、b共線，則a•b=+-∣a∣∣b∣。

向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a•b=x•x'+y•y'。

向量的數(shù)量積的運(yùn)算律

a•b=b•a(交換律);

(λa)•b=λ(a•b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律);

(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);

向量的數(shù)量積的性質(zhì)

a•a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a•b=0。

|a•b|≤|a|•|b|。

向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)

1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。

2、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 a•b=a•c (a≠0)，推不出 b=c。

3、|a•b|≠|a|•|b|

4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

4、向量的向量積

定義：兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a×b=0。

向量的向量積性質(zhì)：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量積運(yùn)算律

a×b=-b×a;

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

(a+b)×c=a×c+b×c.

注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。

向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;

① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，左邊取等號;

② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，右邊取等號。

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，左邊取等號;

② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，右邊取等號。