九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)-二次函數(shù)及其圖像

數(shù)學(xué)的知識(shí)難點(diǎn)一直都是比較多的，尤其在進(jìn)入九年級(jí)下冊(cè)的時(shí)候，數(shù)學(xué)的知識(shí)難點(diǎn)會(huì)隨著年紀(jì)的增高而增加，今天帶大家一起來(lái)復(fù)習(xí)一下九年級(jí)下冊(cè)的數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)來(lái)共同學(xué)習(xí)。

二次函數(shù)及其圖像

二次函數(shù)(quadraticfunction)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為f(x)=ax^2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。

一般的，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

一般式

y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a);

頂點(diǎn)式

y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k為常數(shù))或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-m，k)對(duì)稱軸為x=-m，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開(kāi)口方向與函數(shù)y=ax∧2的圖像相同，有時(shí)題目會(huì)指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式;

交點(diǎn)式

y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1，0)和B(x2，0)的拋物線];

重要概念：a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下。a的絕對(duì)值還可以決定開(kāi)口大小,a的絕對(duì)值越大開(kāi)口就越小,a的絕對(duì)值越小開(kāi)口就越大。

牛頓插值公式(已知三點(diǎn)求函數(shù)解析式)

y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引導(dǎo)出交點(diǎn)式的系數(shù)a=y1/(x1*x2)(y1為截距)

求根公式

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

求根公式

x是自變量，y是x的二次函數(shù)

x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a

(即一元二次方程求根公式)(如右圖)

求根的方法還有因式分解法和配方法

在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=2x的平方的圖像，

可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無(wú)止境的拋物線。

不同的二次函數(shù)圖像

如果所畫(huà)圖形準(zhǔn)確無(wú)誤，那么二次函數(shù)將是由一般式平移得到的。

注意：草圖要有1本身圖像，旁邊注明函數(shù)。

2畫(huà)出對(duì)稱軸，并注明X=什么

3與X軸交點(diǎn)坐標(biāo)，與Y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)。拋物線的性質(zhì)

軸對(duì)稱

1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x=-b/2a。

對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線x=0)

頂點(diǎn)

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P(-b/2a，4ac-b^2;)/4a)

當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上;當(dāng)Δ=b^2;-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

開(kāi)口

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。

當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口。

|a|越大，則拋物線的開(kāi)口越小。

決定對(duì)稱軸位置的因素

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0)，對(duì)稱軸在y軸左;因?yàn)槿魧?duì)稱軸在左邊則對(duì)稱軸小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號(hào)

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0)，對(duì)稱軸在y軸右。因?yàn)閷?duì)稱軸在右邊則對(duì)稱軸要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要異號(hào)

可簡(jiǎn)單記憶為左同右異，即當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0)，對(duì)稱軸在y軸左;當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0)，對(duì)稱軸在y軸右。

事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線切線的函數(shù)解析式(一次函數(shù))的斜率k的值?？赏ㄟ^(guò)對(duì)二次函數(shù)求導(dǎo)得到。

決定拋物線與y軸交點(diǎn)的因素

5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于(0，c)

拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

Δ=b^2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

Δ=b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

Δ=b^2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a)

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a;在{x|x<-b/2a}上是減函數(shù)，在

{x|x>-b/2a}上是增函數(shù);拋物線的開(kāi)口向上;函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變

當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)

特殊值的形式

7.特殊值的形式

①當(dāng)x=1時(shí)y=a+b+c

②當(dāng)x=-1時(shí)y=a-b+c

③當(dāng)x=2時(shí)y=4a+2b+c

④當(dāng)x=-2時(shí)y=4a-2b+c

二次函數(shù)的性質(zhì)

8.定義域：R

值域：(對(duì)應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請(qǐng)讀者自行推斷)①[(4ac-b^2)/4a，

正無(wú)窮);②[t，正無(wú)窮)

奇偶性：當(dāng)b=0時(shí)為偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)為非奇非偶函數(shù)。

周期性：無(wú)

解析式：

①y=ax^2+bx+c[一般式]

⑴a≠0

⑵a>0，則拋物線開(kāi)口朝上;a<0，則拋物線開(kāi)口朝下;

⑶極值點(diǎn)：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a);

⑷Δ=b^2-4ac,

Δ>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)：

([-b-√Δ]/2a，0)和([-b+√Δ]/2a，0);

Δ=0，圖象與x軸交于一點(diǎn)：

(-b/2a，0);

Δ<0，圖象與x軸無(wú)交點(diǎn);

②y=a(x-h)^2+k[頂點(diǎn)式]

此時(shí)，對(duì)應(yīng)極值點(diǎn)為(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a;

③y=a(x-x1)(x-x2)[交點(diǎn)式(雙根式)](a≠0)

對(duì)稱軸X=(X1+X2)/2當(dāng)a>0且X≧(X1+X2)/2時(shí)，Y隨X的增大而增大，當(dāng)a>0且X≦(X1+X2)/2時(shí)Y隨X的增大而減小。

此時(shí)，x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)，將X、Y代入即可求出解析式(一般與一元二次方程連用)。交點(diǎn)式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道兩個(gè)x軸交點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)交點(diǎn)式。兩交點(diǎn)X值就是相應(yīng)X1X2值。

以上的知識(shí)點(diǎn)是特別重要的，尤其在進(jìn)入高中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)難點(diǎn)會(huì)比較多，所以在學(xué)習(xí)的時(shí)候一定要做好相關(guān)的筆記，這樣對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)才更有效果。