2016年湖南高考數(shù)學(xué)備考專項(xiàng)練習(xí)及答案
來源：學(xué)大教育 時(shí)間：2016-01-25
數(shù)學(xué)是一門國(guó)際性的學(xué)科，對(duì)各個(gè)方面都要求嚴(yán)謹(jǐn)，請(qǐng)考生認(rèn)真練習(xí)。
2016年湖南高考數(shù)學(xué)備考專項(xiàng)練習(xí)及答案
題型一、直線和橢圓的位置關(guān)系
例1：如圖所示，橢圓C1：+=1(a>b>0)的離心率為，x軸被曲線C2：y=x2-b截得的線段長(zhǎng)等于C1的短軸長(zhǎng)。C2與y軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A，B，直線MA，MB分別與C1相交于點(diǎn)D，E。
(1)求C1，C2的方程;
(2)求證：MA⊥MB;
(3)記△MAB，△MDE的面積分別為S1，S2，若=λ，求λ的取值范圍。
破題切入點(diǎn)：
(1)利用待定系數(shù)法求解曲線C1，C2的方程。
(2)設(shè)出直線AB和曲線C2聯(lián)立，利用坐標(biāo)形式的向量證明。
(3)將S1和S2分別表示出來，利用基本不等式求最值。
(1)解 由題意，a2=2b2。
又2=2b，得b=1。
所以曲線C2的方程：y=x2-1，橢圓C1的方程：+y2=1。
(2)證明：設(shè)直線AB：y=kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由題意，知M(0，-1)。
則x2-kx-1=0=(x1，y1+1)·(x2，y2+1)
=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1
=-(1+k2)+k2+1=0，
所以MA⊥MB。
(3)解：設(shè)直線MA的方程：y=k1x-1，直線MB的方程：y=k2x-1，
由(2)知k1k2=-1，M(0，-1)，
由解得或
所以A(k1，k-1)。
同理，可得B(k2，k-1)。
故S1=MA·MB=·|k1||k2|。
由解得或
所以D。
同理，可得E。
故S2=MD·M
則λ的取值范圍是[，+∞)。
題型二、直線和雙曲線的位置關(guān)系
例2：已知雙曲線C：x2-y2=1及直線l：y=kx-1。
(1)若l與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)若l與C交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且△AOB的面積為，求實(shí)數(shù)k的值。
破題切入點(diǎn)：
(1)聯(lián)立方程組，利用Δ>0求出k的取值范圍。
(2)聯(lián)立方程用根與系數(shù)的關(guān)系求解。
解：(1)雙曲線C與直線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
則方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
整理得(1-k2)x2+2kx-2=0。
∴解得-|x2|時(shí)，
S△OAB=S△OAD-S△OBD=(|x1|-|x2|)
=|x1-x2|;
當(dāng)A，B在雙曲線的兩支上且x1>x2時(shí)，
S△OAB=S△ODA+S△OBD=(|x1|+|x2|)
=|x1-x2|。
∴S△OAB=|x1-x2|=，∴(x1-x2)2=(2)2，
即2+=8，解得k=0或k=±。
又∵-0，b>0)的上焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，B為虛軸的端點(diǎn)，離心率e=，且S△ABF=1-。拋物線N的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F。
(1)求雙曲線M和拋物線N的方程;
(2)設(shè)動(dòng)直線l與拋物線N相切于點(diǎn)P，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，則以PQ為直徑的圓是否恒過y軸上的一個(gè)定點(diǎn)?如果是，試求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不是，請(qǐng)說明理由。
破題切入點(diǎn)：
(1)根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，用a，c表示已知條件，建立方程組即可求解雙曲線的方程，然后根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求出拋物線的方程。
(2)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后根據(jù)圓的性質(zhì)列出關(guān)于點(diǎn)P的坐標(biāo)的方程，將問題轉(zhuǎn)化為方程恒成立的問題來解決。
解：(1)在雙曲線中，c=，
由e=，得=，
解得a=b，故c=2b。
所以S△ABF=(c-a)×b=(2b-b)×b
=1-，解得b=1。
所以a=，c=2，其上焦點(diǎn)為F(0，2)。
所以雙曲線M的方程為-x2=1，
拋物線N的方程為x2=8y。
(2)由(1)知拋物線N的方程為y=x2，
故y′=x，拋物線的準(zhǔn)線為y=-2。
設(shè)P(x0，y0)，則x0≠0，y0=x，
且直線l的方程為y-x=x0(x-x0)，
即y=x0x-x。由得
所以Q(，-2)。
假設(shè)存在點(diǎn)R(0，y1)，使得以PQ為直徑的圓恒過該點(diǎn)，
也就是·=0對(duì)于滿足y0=x(x0≠0)的x0，y0恒成立。
由于=(x0，y0-y1)，=(，-2-y1)，
由=0，
得x0·+(y0-y1)(-2-y1)=0，
整理得-2y0-y0y1+2y1+y=0，
即(y+2y1-8)+(2-y1)y0=0，
由于式對(duì)滿足y0=x(x0≠0)的x0，y0恒成立，
所以解得y1=2。
故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)。
總結(jié)提高：直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題，萬變不離其宗，構(gòu)建屬于自己的解題模板，形成一定的解題思路，利用數(shù)形結(jié)合思想來加以解決。
1.設(shè)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線l過F且與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，已知當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，△OMN的面積為2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))。
(1)求拋物線C的方程;
(2)是否存在直線l，使得以MN為對(duì)角線的正方形的第三個(gè)頂點(diǎn)恰好在y軸上，若存在，求直線l的方程;若不存在，請(qǐng)說明理由。
解：(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，則|MN|=2p，
∴S△OMN=·2p·==2，即p=2。
∴拋物線C的方程為y2=4x。
(2)∵直線l與x軸垂直時(shí)，不滿足。設(shè)正方形的第三個(gè)頂點(diǎn)為P。
故可設(shè)直線l：y=k(x-1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(0，y0)，
聯(lián)立可化簡(jiǎn)得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，
則代入直線l可得MN的中點(diǎn)為，
則線段MN的垂直平分線為y-=-(x-1-)，
故P(0，+)。
又=0，則x1x2+(y1-y0)(y2-y0)=0。
即x1x2+y1y2-y0(y1+y2)+y=0。
1-4-y0·+y=0，化解得ky-4y0-3k=0，
由y0=+代入上式，化簡(jiǎn)得(3k4-4)(k2+1)=0。